Question

點(diǎn)P是雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與圓C₂：x²+y²=a²+b²的一個(gè)交點(diǎn)，且2∠PF₁F₂=∠PF₂F₁，其中F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線C₁的左右焦點(diǎn)，則雙曲線C₁的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)題意，求出∠PF₁F₂=

π

6

，得出|PF₂|、|PF₁|的大小，再利用雙曲線的定義，求出c與a的關(guān)系，即得離心率的值．

解答： 解：如圖所示，
∵F₁F₂圓C₂：x²+y²=a²+b²的直徑，∴∠F₁PF₂是直角；
∴在Rt△PF₁F₂中，2∠PF₁F₂=∠PF₂F₁，
∴∠PF₁F₂=

π

6

，
∴|PF₂|=

1

2

|F₁F₂|=c，
∴|PF₁|=

3

|PF₂|=

3

c，
∴|PF₁|-|PF₂|=

3

c-c=2a，
∴

c

a

=

2

3 -1

=

3

+1．
故答案為：

3

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形解答問題，是基礎(chǔ)題．