Question

12．設平面向量$\overrightarrow a=\overrightarrow{OA}$，定義以x軸非負半軸為始邊，逆時針方向為正方向，OA為終邊的角稱為向量$\overrightarrow a$的幅角．若r₁是向量$\overrightarrow a$的模，r₂是向量$\overrightarrow b$的模，$\overrightarrow a$的幅角是θ₁，$\overrightarrow b$的幅角是θ₂，定義$\overrightarrow a?\overrightarrow b$的結果仍是向量，它的模為r₁r₂，它的幅角為θ₁+θ₂．給出$\overrightarrow a=（{x_1}，{y_1}），\overrightarrow b=（{x_2}，{y_2}）$．試用$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$的坐標表示$\overrightarrow a?\overrightarrow b$的坐標，結果為$\overrightarrow a?\overrightarrow b=（{x_1}{x_2}-{y_1}{y_2}，{x_1}{y_2}+{x_2}{y_1}）$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得出向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的坐標表示，利用向量的坐標運算計算$\overrightarrow a?\overrightarrow b$即可．

解答 解：根據(jù)題意，$\overrightarrow a={r_1}（cos{θ_1}，sin{θ_1}），\overrightarrow b={r_2}（cos{θ_2}，sin{θ_2}）$，
其中x₁=r₁cosθ₁，y₁=r₁sinθ₁，x₂=r₂cosθ₂，y₂=r₂sinθ₂，
所以$\overrightarrow a?\overrightarrow b$=r₁r₂（cos（θ₁+θ₂），sin（θ₁+θ₂））；
又因為r₁r₂cos（θ₁+θ₂）=r₁r₂cosθ₁cosθ₂-r₁r₂sinθ₁sinθ₂
=x₁x₂-y₁y₂，r₁r₂sin（θ₁+θ₂）
=r₁r₂sinθ₁cosθ₂+r₁r₂cosθ₁sinθ₂=x₁y₂+y₁x₂，
所以$\overrightarrow a?\overrightarrow b=（{x_1}{x_2}-{y_1}{y_2}，{x_1}{y_2}+{x_2}{y_1}）$．
故答案為：$\overrightarrow a?\overrightarrow b=（{x_1}{x_2}-{y_1}{y_2}，{x_1}{y_2}+{x_2}{y_1}）$．

點評 本題考查了平面向量的坐標表示與運算問題，也考查了新定義的運算問題，是易錯題目．