Question

9．已知函數(shù)f（x）=2sinx（$\sqrt{3}$cosx-sinx）+1，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）三角函數(shù)問題一般都是要把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（x）=Asin（ωx+φ）+k的形式，然后利用正弦函數(shù)的知識解決問題，本題中選用二倍角公式和降冪公式化簡為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的最值求法解答．

解答 解：f（x）=2sinx（$\sqrt{3}$cosx-sinx）+1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期為：$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z），
得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，（k∈Z）．
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是x∈[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，（k∈Z）．
（2）因為x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
所以2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
所以f（x）的最大值是2，最小值是-1．

點評 本題考查三角函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間的求法，是中檔題，解題時要注意三角函數(shù)恒等式的靈活運用．