Question

14．若函數(shù)f（x）=$\frac{x+a}{{e}^{x}}$在區(qū)間（-∞，2）上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可知，函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（-∞，2）上有f′（x）＞0恒成立．
f′（x）＞0 只需 1-（x+a）在（-∞，2）上恒大于0即可，等價(jià)于：對(duì)于任意的x∈（-∞，2），恒有a＜1-x 成立．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{x+a}{{e}^{x}}$的導(dǎo)函數(shù)為：f′（x）=$\frac{{e}^{x}-（x+a）{e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{1-（x+a）}{{e}^{x}}$
由題設(shè)知f（x）在區(qū)間 （-∞，2）為增函數(shù)，即f′（x）在（-∞，2）上恒有f′（x）＞0成立．
又因?yàn)閑^x＞0在實(shí)數(shù)集R上恒成立，
∴f′（x）＞0 只需在（-∞，2）上 1-（x+a）＞0恒大成立即可，等價(jià)于：對(duì)于任意的x∈（-∞，2），恒有a＜1-x 成立．
∴令g（x）=1-x，g（x）為減函數(shù)，g（x）在（-∞，2）上的取值范圍為（-1，+∞）
∴a≤-1．
故本題答案為：（-∞，-1]

點(diǎn)評(píng) 在求恒成立問題過程中，需要理解等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)語言表達(dá)．