Question

已知函數(shù)f（x）=mx-

m-1

x

-lnx，m∈R，函數(shù)g（x）=

1

cosθ•x

+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，且θ∈[0，

π

2

）．
（1）求θ的取值范圍；c
（2）若h（x）=f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
（3）若在[1，e]上至少存在一個x₀，使得h（x₀）＞

2e

x0

成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意g′(x)=-

1

cosθ•x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出θ的取值范圍．（2）由（1）得h（x）=mx-

m

x

-2lnx，從而h′(x)=

mx2-2x+m

x2

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出m的取值范圍．（3）構(gòu)造函數(shù)F（x）=mx-

m

x

-2lnx-

2e

x

．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意g′(x)=-

1

cosθ•x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，
即

cosθ•x-x

cosθ•x2

≥0，
∵θ∈[0，

π

2

)，故cosθ•x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，
只須cosθ•1-1≥0，即cosθ≥1，得θ=0，
∴θ的取值范圍是{0}．
（2）由（1）得h（x）=mx-

m

x

-2lnx，
∴h′(x)=

mx2-2x+m

x2

，
∵h（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，
∴mx²-2x+m≥0，或者mx²-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立，
mx²-2x+m≥0等價于m（1+x²）≥2x，即m≥

2x

1+x2

，
而

2x

1+x2

=

2

x+ 1 x

•{

2

x+ 1 x

}_max=1，解得m≥1，
∴mx²-2x+m≤0等價于m（1+x²）≤2x，
即m≤

2x

1+x2

在[1，+∞）恒成立，
而

2x

1+x2

∈(0，1]，∴m≤0，
綜上所述，m的取值范圍是（-∞，0]∪[1，+∞）．
（3）構(gòu)造函數(shù)F（x）=mx-

m

x

-2lnx-

2e

x

．
當m≤0時，x∈[1，e]，mx-

m

x

≤0，-2lnx-

2e

x

＜0，
∴在[1，e]上不存在一個x₀，
使得h（x₀）＞

2e

x0

成立．…9分
當m＞0時，F(xiàn)'（x）=m+

m

x2

-

2

x

+

2e

x2

=

mx2-2x+m+2e

x2

．
∵x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx²+m＞0，∴F′（x）＞0在[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）_max=me-

4

e

-4，只要me-

4

e

-4＞0，
解得m＞

4e

e2-1

．
故m的取值范圍是(

4e

e2-1

，+∞)．…14分．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的應(yīng)用，考查實數(shù)取值范圍的求法，解題時要注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法和分類討論思想的合理運用．