Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（2a+1）x+alnx．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值；
（2）設(shè)g（x）=（1-a）x，其中0＜a＜1，判斷方程f（x）=g（x）在區(qū)間[1，e]上的解的個(gè)數(shù)．（其中e為無理數(shù)，約等于2.7182…且有e²-2e＞e-1）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f′（x）=2x-(2a+1)+

a

x

=

(x-a)(2x-1)

x

=0，得x=a或x=

1

2

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=x²-（a+2）x+alnx（x＞0）．由h'（x）=0，得x=1或x=

a

2

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出方程在區(qū)間[1，e]上存在唯一解．

解答： （本題滿分14分）
解：（1）由f′（x）=2x-(2a+1)+

a

x

=

2x2-(2a+1)x+a

x

=

(x-a)(2x-1)

x

=0，
得x=a或x=

1

2

，（2分）
①當(dāng)a≤1時(shí)，f'（x）≥0，∴f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=-2a；
②當(dāng)1＜a＜e時(shí)，x∈（1，a）時(shí)，f'（x）＜0，
x∈（1，a）時(shí)，f'（x）＞0，
∴f（x）在（1，a）上是減函數(shù)，在（a，e）上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（a）=-a²-a+alna；
③當(dāng)a≥e時(shí)，f'（x）≤0，∴f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，
∴f（x）_min=f（e）=e²-2ae-e+a．
綜上所述：f（x）_min=

-2a，a≤1 -a2-a+alna，1＜a＜e e2-2ae-e+a，a≥e

．…（6分）
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=x²-（a+2）x+alnx（x＞0）．
由h'（x）=2x-(a+2)+

a

x

=

2x2-(a+2)x+a

x

=

(2x-a)(x-1)

x

=0，
解得x=1或x=

a

2

，
由0＜a＜1，知

a

2

＜1，
當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，h′（x）＞0，則h（x）在[1，e）上是增函數(shù)，
又h（1）=-1-a＜0，h（e）=e²-（a+2）e+a=（e-1）（

e2-2e

e-1

-a），
由已知e²-2e＞e-1＞0，得

e2-2e

e-1

＞1，
∴

e2-2e

e-1

-a＞0，h（e）＞0，
∴函數(shù)h（x）在[1，e]上有唯一的零點(diǎn)，
∴方程f（x）=g（x）在區(qū)間[1，e]上存在唯一解．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，考查方程的解的個(gè)數(shù)的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運(yùn)用．