Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sin2x，cos2x），$\overrightarrow$=（cos2x，-cos2x），
（1）若x∈（$\frac{7π}{24}$，$\frac{5π}{12}$）時，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{5}$，求cos4x的值；
（2）cos2x≥$\frac{1}{2}$，x∈（0，π），若關(guān)于x的方程$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\frac{1}{2}$=m有且只有一個根，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)向量的數(shù)量積，進一步對三角函數(shù)進行恒等變換，結(jié)合題中的定義域，求出cos4x的值．
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的交點情況，利用函數(shù)的圖象求出參數(shù)m的值．

解答 解：（1）∵已知$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sin2x，cos2x），$\overrightarrow$=（cos2x，-cos2x），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sin2xcos2x-cos²2x+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin4x-$\frac{1}{2}$cos4x=sin（4x-$\frac{π}{6}$），
∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{5}$，
∴sin（4x-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{3}{5}$，
∵x∈（$\frac{7π}{24}$，$\frac{5π}{12}$），
∴4x-$\frac{π}{6}$∈（π，$\frac{3π}{2}$），
∴cos（4x-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，
∴cos4x=cos[（4x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=cos（4x-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-sin（4x-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$）=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．
（2）∵x∈（0，π），cosx在（0，π）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
∴0＜x≤$\frac{π}{3}$，
令f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\frac{1}{2}$=sin（4x-$\frac{π}{6}$），g（x）=m，
根據(jù)在同一坐標系中函數(shù)的圖象求得：m=1或m=-$\frac{1}{2}$．
故答案為：
（1）cos4x=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$；
（2）m=1或m=-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查的知識點有：向量的數(shù)量積，三角函數(shù)式的恒等變換，三角函數(shù)的求值，函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的圖象，以及參數(shù)的取值問題，屬于中檔題．