Question

11．如圖，設(shè)四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面為菱形，A₁C與底面垂直．過(guò)點(diǎn)C作平面與四棱柱的側(cè)棱垂直且分別交AA₁于點(diǎn)E，交BB₁于點(diǎn)F，交DD₁于點(diǎn)G．
（1）求證：四邊形EFCG為菱形；
（2）設(shè)此四棱柱的底面為正方形，且AB=a，A₁C=h，二面角A-BB₁-C的大小等于60°，求$\frac{h}{a}$．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出CF∥GE，CG∥EF，連接DB，AC，GF，CE，從而平面A₁CA⊥底面，CE⊥DB，CE⊥GF，由此能證明四邊形EFCG為菱形．
（2）以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，CA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求求出$\frac{a}{h}$．

解答 證明：（1）∵平面A₁ADD₁∥平面B₁BCC₁，平面A₁B₁BA∥平面D₁C₁CD，
∴CF∥GE，CG∥EF，連接DB，AC，GF，CE，
∵A₁C⊥底面，∴平面A₁CA⊥底面，CE⊥DB，∵GF∥DB，∴CE⊥GF
∴四邊形EFCG為菱形．
解：（2）以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，CA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（a，a，0），B（0，a，0），B₁（-a，0，h），C（0，0，0），
$\overrightarrow{BA}$=（a，0，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（-a，-a，h），$\overrightarrow{BC}$=（0，-a，0），
設(shè)平面ABB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=ax=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=-ax-ay+hz=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，$\frac{a}{h}$），
設(shè)平面BB₁C的法向量$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=-ax-ay+hz=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-ay=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，$\frac{a}{h}$），
∵A-BB₁-C的大小等于60°，
∴cos60°=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{{a}^{2}}{{h}^{2}}}{\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{{h}^{2}}}•\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{{h}^{2}}}}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{a}^{2}}{{h}^{2}}$=1，
∵a＞0，h＞0，∴$\frac{a}{h}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形為菱形的證明，考查線段長(zhǎng)比值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．