【題目】已知函數(shù)定義域為，若對于任意的，都有，且時，有.

（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；

（2）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；

（3）設，若，對所有，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析；（2）增函數(shù)，證明見解析；（3）或.

【解析】

試題分析：（1）利用賦值法先求出，然后令，可得與的關系，從而判定函數(shù)的奇偶性；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義先在定義域上任取零點，并規(guī)定大小，然后判斷函數(shù)的大小，從而確定函數(shù)的單調(diào)性；（3）關于恒成立的問題常常進行轉(zhuǎn)化，若，對所有，恒成立，可轉(zhuǎn)化成恒成立，然后將其看出關于的函數(shù)，即可求解.

試題解析：（1）因為有，

令，得，所以，

令可得：，所以，所以為奇函數(shù).

（2）∵是定義在上的奇函數(shù)，由題意設，

則，

由題意時，有，∴，∴是在上為單調(diào)遞增函數(shù)；

（3）因為在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上的最大值為，

所以要使，對所有，恒成立，

只要，即恒成立.

令，得，

∴或.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓 的右準線方程為，又離心率為，橢圓的左頂點為，上頂點為，點為橢圓上異于任意一點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證： 為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設橢圓C： =1的離心率e= ，動點P在橢圓C上，點P到橢圓C的兩個焦點的距離之和是4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若橢圓C1的方程為 =1（m＞n＞0），橢圓C2的方程為 =λ（λ＞0，且λ≠1），則稱橢圓C2是橢圓C1的λ倍相似橢圓．已知橢圓C2是橢圓C的3倍相似橢圓．若過橢圓C上動點P的切線l交橢圓C2于A，B兩點，O為坐標原點，試證明當切線l變化時|PA|=|PB|并研究△OAB面積的變化情況．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓的圓心在直線上，且圓經(jīng)過點與點.

（1）求圓的方程；

（2）過點作圓的切線，求切線所在的直線的方程.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】試題分析：（1）求出線段的中點，進而得到線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得交點，∴.則圓的方程可求

（2）當切線斜率不存在時，可知切線方程為.

當切線斜率存在時，設切線方程為，由到此直線的距離為，解得，即可到切線所在直線的方程.

試題解析：（（1）設 線段的中點為，∵，

∴線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得交點，

∴.

∴圓的方程為.

（2）當切線斜率不存在時，切線方程為.

當切線斜率存在時，設切線方程為，即，

則到此直線的距離為，解得，∴切線方程為.

故滿足條件的切線方程為或.

【點睛】本題考查圓的方程的求法，圓的切線，中點弦等問題，解題的關鍵是利用圓的特性，利用點到直線的距離公式求解．

【題型】解答題
【結(jié)束】
20

【題目】某小型企業(yè)甲產(chǎn)品生產(chǎn)的投入成本（單位：萬元）與產(chǎn)品銷售收入（單位：萬元）存在較好的線性關系，下表記錄了最近5次產(chǎn)品的相關數(shù)據(jù).

（投入成本）

7

10

11

15

17

（銷售收入）

19

22

25

30

34

（1）求關于的線性回歸方程；

（2）根據(jù)（1）中的回歸方程，判斷該企業(yè)甲產(chǎn)品投入成本20萬元的毛利率更大還是投入成本24萬元的毛利率更大（）？

相關公式： ， .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和Sn＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N* ．
（1）求{an}的通項公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足bn= ，求{bn}的前n項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知復數(shù)z＝，（m∈R，i是虛數(shù)單位）．

（1）若z是純虛數(shù)，求m的值；

（2）設是z的共軛復數(shù)，復數(shù)＋2z在復平面上對應的點在第一象限，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，AB是⊙O的一條切線，切點為B，直線ADE、CFD、CGE都是⊙O的割線，已知AC=AB．

（1）若CG=1，CD=4．求 的值．
（2）求證：FG∥AC．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某中學對男女學生是否喜愛古典音樂進行了一個調(diào)查，調(diào)查者對學校高三年級隨機抽取了100名學生，調(diào)查結(jié)果如表：

喜愛

不喜愛

總計

男學生

60

80

女學生

總計

70

30

附：K2=

P（K2≥k0）

0.100

0.050

0.010

k0

2.706

3.841

6.635


（1）完成如表，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有95%的把握認為“男學生和女學生喜歡古典音樂的程度有差異”；
（2）從以上被調(diào)查的學生中以性別為依據(jù)采用分層抽樣的方式抽取10名學生，再從這10名學生中隨機抽取5名學生去某古典音樂會的現(xiàn)場觀看演出，求正好有X個男生去觀看演出的分布列及期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（12分）已知函數(shù)f（x）=

（1）判斷函數(shù)在區(qū)間[1,+∞）上的單調(diào)性,并用定義證明你的結(jié)論．

（2）求該函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值與最小值．

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