Question

【題目】已知橢圓 的右準(zhǔn)線方程為，又離心率為，橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓上異于任意一點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證： 為定值．

Answer 1

【答案】(1) (2)見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）利用橢圓的準(zhǔn)線方程和離心率即可求解；（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出的直線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式和點(diǎn)在橢圓上進(jìn)行化簡(jiǎn)求解.

試題解析：（1）∵橢圓的右準(zhǔn)線方程為 ∴ ∵離心率為 ∴

∴ ∴ ∴橢圓的方程為： ;

（2）方法（一）設(shè)點(diǎn) ，則， ，即．

當(dāng)時(shí)， ，則， ∴

∵點(diǎn)異于點(diǎn) ∴

當(dāng)且時(shí)，設(shè)直線方程為： ，它與軸交于點(diǎn)

直線方程為： ，它與軸交于點(diǎn)

∴，

∴

為定值．

方法（二）若直線斜率不存在，則直線方程為： ，此時(shí)，則，

∴

若直線斜率存在，設(shè)直線方程為： ，且

∴且

則聯(lián)立方程： 得： ，解得： 或，

即點(diǎn) ∵點(diǎn)異于點(diǎn)∴

∴

∴直線的方程為： ，

則且

∴為定值．