Question

14．設函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上的導函數(shù)f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）上的導函數(shù)為f″（x）．若區(qū)間（a，b）上f″（x）＞0恒成立，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凹函數(shù)”；已知f（x）=$\frac{1}{20}$x⁵-$\frac{1}{12}$mx⁴-2x²在（2，3）上為“凹函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1]
• B． [1，$\frac{23}{9}$]
• C． （-∞，-3]
• D． （-∞，$\frac{23}{9}$]

Answer 1

分析 利用導數(shù)的運算法則可得f′（x），f″（x）．由于函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凹函數(shù)”，可得：在區(qū)間（a，b）上f″（x）＞0恒成立，解得即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{4}$x⁴-$\frac{1}{3}$mx³-4x，f″（x）=x³-mx²-4，
∵f（x）=$\frac{1}{20}$x⁵-$\frac{1}{12}$mx⁴-2x²在（2，3）上為“凹函數(shù)”，
∴在（2，3）上，f″（x）＞0恒成立，
∴x³-mx²-4＞0，
∴m＜x-$\frac{4}{{x}^{2}}$，
設g（x）=x-$\frac{4}{{x}^{2}}$，
∴g′（x）=1+$\frac{8}{{x}^{3}}$＞0在（2，3）上恒成立，
∴g（x）在（2，3）上單調(diào)遞增，
∴g（2）=2-$\frac{4}{{2}^{2}}$=1，g（3）=3-$\frac{4}{{3}^{2}}$=$\frac{23}{9}$
∴1＜g（x）＜$\frac{23}{9}$
∴m≤1，
故選：A．

點評 本題考查了“凹函數(shù)”的定義及其性質(zhì)、導數(shù)的運算法則、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．