Question

2．已知命題p：方程$\frac{{x}^{2}}{2m}$+$\frac{{y}^{2}}{1-m}$=1表示焦點在y軸上的橢圓；命題q：雙曲線$\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{m}$=1的離心率$e∈（1，\sqrt{3}）$，若p、q有且只有一個為真，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 利用橢圓與雙曲線的標準方程及其性質分別可得m的取值范圍，由于p、q有且只有一個為真，可知：p與q必然一真一假，即可得出．

解答 解：將方程$\frac{x^2}{2m}-\frac{y^2}{m-1}=1$改寫為$\frac{x^2}{2m}+\frac{y^2}{1-m}=1$，
只有當1-m＞2m＞0，即$0＜m＜\frac{1}{3}$時，方程表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓，所以命題p等價于$0＜m＜\frac{1}{3}$；
因為雙曲線$\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{m}=1$的離心率$e∈（1，\sqrt{3}）$，
所以m＞0，且1$＜\frac{5+m}{5}＜3$，解得0＜m＜10，
所以命題q等價于0＜m＜10； 
若p真q假，則m∈∅；
若p假q真，則$\frac{1}{3}≤m＜10$
綜上：m的取值范圍為$\frac{1}{3}≤m＜10$．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的標準方程及其性質、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．