Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為原點(diǎn)，以x軸正半軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρsinθ+3=0，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）．
（1）寫出曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)A，B是曲線C上的兩動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，求∠APB的最大值．

Answer 1

分析 （1）將ρ²=x²+y²，ρsinθ=y代入極坐標(biāo)方程得出曲線C的直角坐標(biāo)方程，將直線l的參數(shù)方程兩式相加消去參數(shù)t，得到直線l的普通方程；
（2）計(jì)算圓心C到直線l的距離可知直線與圓C相離，過(guò)P做圓C的切線，則當(dāng)OP最小，A，B為切點(diǎn)時(shí)，∠APB最大．

解答 解：（1）∵ρ²-4ρsinθ+3=0，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²-4y+3=0，即x²+（y-2）²=1．
∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，∴x-1+y-3=0，即x+y-4=0．
（2）曲線C的圓心C（0，2）到直線l的距離d=$\frac{|2-4|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$＞1．
∴直線l與圓C相離．
過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線，則當(dāng)A，B為切點(diǎn)時(shí)，∠APB最大．
連結(jié)OP，OA，則∠OPA=$\frac{1}{2}$∠APB，sin∠OPA=$\frac{OA}{OP}$=$\frac{1}{OP}$．
∴當(dāng)OP取得最小值$\sqrt{2}$時(shí)，sin∠OPA取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即∠OPA的最大值為$\frac{π}{4}$，
∴∠APB的最大值為2∠OPA=$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互相轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．