Question

8．已知3$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+$\sqrt{6}$cos²$\frac{x}{4}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$-m≤0在x∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上有解但不恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． [-$\sqrt{3}$，+∞）
• B． （-∞，$\sqrt{3}$]
• C． [-$\sqrt{3}$，3）
• D． [-$\sqrt{3}$，+$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 利用根據(jù)二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，確定m的不等式關(guān)系，進(jìn)而利用x的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)確定
$\sqrt{6}sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）$的范圍，進(jìn)而求得m的范圍．

解答 解：3$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+$\sqrt{6}$cos²$\frac{x}{4}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$-m，
=$\frac{3\sqrt{2}}{2}sin\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}cos\frac{x}{2}$-m，
=$\sqrt{6}sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）$-m≤0，
∴m≥$\sqrt{6}sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）$，
x∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，
$-\frac{π}{4}≤\frac{x}{2}+\frac{π}{6}≤\frac{π}{4}$，
$-\sqrt{3}≤\sqrt{6}sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）≤\sqrt{3}$，有解但不恒成立
∴m≥-$\sqrt{3}$．
故答案為：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的最值問(wèn)題，不等式恒成立的問(wèn)題．涉及了知識(shí)面較多，考查了知識(shí)的綜合性．