Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且，.

（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和；

（3）設(shè)函數(shù)（為常數(shù)），且（2）中的＞對(duì)任意的和都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，（）；（2）；（3）

【解析】

（1）由，可得時(shí)，；，．變形為：，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列，可得．再利用：時(shí)，，即可得出；

（2）由（Ⅰ）知，裂項(xiàng)相消法可得；

（3）由對(duì)所有的和都成立，可得：，利用數(shù)列的單調(diào)性與二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

（1）證：∵，

∴，

∵，∴，

∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比的等比數(shù)列，

∴，即，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，滿足上式，

故數(shù)列的通項(xiàng)公式（）；

（2）解：∵，

∴=，

（3）解：顯然，故由題知對(duì)任意的，都有，

即對(duì)任意的恒成立，

∴，即，∴，

故實(shí)數(shù)的取值范圍是．