【題目】已知雙曲線的兩條漸近線分別為直線,,經(jīng)過右焦點且垂直于的直線分別交,于兩點,若,,成等差數(shù)列,且,則該雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由雙曲線的性質(zhì)可得:|AF|=b,|OA|=a,∴tan∠AOF=,∴tan∠AOB=tan2∠AOF=,在直角三角形OAB中求出|AB|和|OB|,再根據(jù)等差中項列等式可得 a=2b,可得離心率.
由雙曲線的性質(zhì)可得:|AF|=b,|OA|=a,tan∠AOF=,
∴tan∠AOB=tan2∠AOF=
在Rt△OAB中,tan∠AOB=
∴|OB|=,又|OA|,|AB|,|OB|成等差數(shù)列,∴2|AB|=|OA|+|OB|,
∴,化簡得:2a2﹣3ab﹣2b2=0,即(2a+b)(a﹣2b)=0,
∴a﹣2b=0,即a=2b,∴a2=4b2=4(c2﹣a2),5a2=4c2,∴e2=.
故選:A.
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【題目】已知函數(shù)為常數(shù).
(Ⅰ)若是函數(shù)的一個極值點,求此時函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對任意的,,不等式恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,圓與軸負半軸交于點,過點的直線,分別與圓交于,兩點.
(Ⅰ)若,,求的面積;
(Ⅱ)若直線過點,證明:為定值,并求此定值.
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【題目】某校研究性學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn),學(xué)生上課的注意力指標(biāo)隨著聽課時間的變化而變化.老師講課開始時學(xué)生的興趣激增,接下來學(xué)生的興趣將保持較理想的狀態(tài)一段時間,隨后學(xué)生的注意力開始分散.該小組發(fā)現(xiàn)注意力指標(biāo)與上課時刻第分鐘末的關(guān)系如下(,設(shè)上課開始時,t=0):.若上課后第5分鐘末時的注意力指標(biāo)為140.
(1)求的值;
(2)上課后第5分鐘末和第35分鐘末比較,哪個時刻注意力更集中?
(3)在一節(jié)課中,學(xué)生的注意力指標(biāo)至少達到140的時間能保持多長?
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【題目】已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù),且在上單調(diào)遞增.
(1)求證:在上單調(diào)遞增;
(2)若不等式成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】設(shè)數(shù)列的前項的和為,且,.
(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列,并求出數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前項的和;
(3)設(shè)函數(shù)(為常數(shù)),且(2)中的>對任意的和都成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知點為圓的圓心, 是圓上的動點,點在圓的半徑上,且有點和上的點,滿足, .
(1)當(dāng)點在圓上運動時,求點的軌跡方程;
(2)若斜率為的直線與圓相切,直線與(1)中所求點的軌跡交于不同的兩點, , 是坐標(biāo)原點,且時,求的取值范圍.
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【題目】如圖,在多面體中,和交于一點,除以外的其余各棱長均為2.
作平面與平面的交線,并寫出作法及理由;
求證:平面平面;
若多面體的體積為2,求直線與平面所成角的正弦值.
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