Question

已知：函數(shù)f（x）滿足f（log₂x）=

2(x2-1)

3x

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達式并討論其單調(diào)性；
（Ⅱ）若對任意實數(shù)x∈[-1，

1

2

]，都有|f（x）|的值不大于a²+3a+3，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）換元法求函數(shù)表達式，通過指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷f（x）的單調(diào)性，（2）可知|f（x）|為偶函數(shù)，化為最值問題．

解答： 解：（Ⅰ）令log₂x=t，則x=2^t，
f（t）=

2((2t)2-1)

3×2t

=

2

3

(2t-2-t)，
∴函數(shù)f(x)=

2

3

(2x-2-x)，
∵y=2^x在R上為增函數(shù)，y=2^-x在R上為減函數(shù)，
∴函數(shù)f(x)=

2

3

(2x-2-x)在R上為增函數(shù)．
（Ⅱ）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴|f（x）|為偶函數(shù)，
則當(dāng)x=-1時，|f（x）|_max=1，
∴1≤a²+3a+3，
解得，a≤-2或a≥-1．

點評：本題考查了換元法求函數(shù)表達式及函數(shù)四則運算的單調(diào)性判斷，同時考查了恒成立問題的處理方法．屬于中檔題．