Question

求證：若圓內(nèi)接四邊形的兩條對角線互相垂直，則從對角線交點(diǎn)到一邊中點(diǎn)的線段長等于圓心到該邊對邊的距離．

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：以兩條對角線的交點(diǎn)為原點(diǎn)O、對角線所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出A（﹣a，0），B（0，﹣b），C（c，0），D（0，d），求得CD的中點(diǎn)E和AB的中點(diǎn)H的坐標(biāo)．

由圓的性質(zhì)求得圓心G的坐標(biāo)，求得|OE|2=|GH|2=，可得|OE|=|GH|，命題得證．

【解析】
以兩條對角線的交點(diǎn)為原點(diǎn)O、對角線所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，（如圖所示）

設(shè)A（﹣a，0），B（0，﹣b），C（c，0），D（0，d），則CD的中點(diǎn)E（，），AB的中點(diǎn)H（﹣，﹣）．

又圓心G到四個頂點(diǎn)的距離相等，故圓心G的橫坐標(biāo)等于AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，等于，

圓心G的縱坐標(biāo)等于BD中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，等于．

即圓心G（，），∴|OE|2=，

|GH|2=+=，∴|OE|=|GH|，故要證的結(jié)論成立．