Question

8．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=3a_n，且a₁=6
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{1}{2}$（n+1）a_n，求b₁+b₂+…+b_n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用等比數(shù)列的定義和通項公式，即可得到所求；
（Ⅱ）求得b_n=$\frac{1}{2}$（n+1）a_n=（n+1）•3ⁿ，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）a_n+1=3a_n，且a₁=6
即有數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且公比q=3，
則a_n=a₁q^n-1=6•3^n-1=2•3ⁿ；
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{2}$（n+1）a_n=（n+1）•3ⁿ，
設(shè)S_n=b₁+b₂+…+b_n=2•3+3•3²+4•3³+…+（n+1）•3ⁿ，
3S_n=2•3²+3•3³+4•3⁴+…+（n+1）•3ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，-2S_n=6+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ-（n+1）•3ⁿ⁺¹
=6+$\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（n+1）•3ⁿ⁺¹，
化簡可得S_n=$\frac{2n+1}{4}$•3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查運算能力，屬于中檔題．