Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O為AC與BD的交點，E為PB上任意一點．
（1）證明：平面EAC⊥平面PBD；
（2）若PD∥平面EAC，PD=

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，AD=2，求二面角B-AE-C的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由線面垂直得PD⊥AC，由菱形性質得BD⊥AC，從而AC⊥平面PBD，由此能證明平面EAC⊥平面PBD．
（2）過點B作BF⊥AE，垂足為F，連結OF，由已知得∠BFO為二面角B-AE-C的一個平面角，由此能求出二面角B-AE-C的大小．

解答： （1）證明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，
又ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，
又AC?平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBD．
（2）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PDB=OE，
∴PD∥OE，∴OE⊥平面ABCD，∴OE⊥OB，
又∵OA⊥OB，OA∩OB=O，∴OB⊥平面EAC，
過點B作BF⊥AE，垂足為F，連結OF，
∵AE⊥BF，AE⊥BO，BF∩BO=B，
∴AE⊥平面BFO，∴OF⊥AE，
∴∠BFO為二面角B-AE-C的一個平面角，
在△AOE中，OF=1，在Rt△BOF中，OF=OB=1，
∴∠BFO=45°．
∴二面角B-AE-C的大小為45°．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．