Question

15．已知經(jīng)過(guò)A（5，-3）且傾斜角的余弦值是-$\frac{3}{5}$的直線，直線與圓x²+y²=25交于B、C兩點(diǎn)．
（1）請(qǐng)寫出該直線的參數(shù)方程以及BC中點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求過(guò)點(diǎn)A與圓相切的切線方程及切點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）求出直線的斜率，可得直線方程，求出過(guò)圓心與直線4x+3y-11=0垂直的直線方程，兩直線方程聯(lián)立可得BC中點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可過(guò)點(diǎn)A與圓相切的切線方程及切點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）直線參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=5-\frac{3}{5}t}\\{y=-3+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入圓的方程得t²-$\frac{54}{5}$t+9=0，∴t_M=$\frac{t1+t2}{2}$=$\frac{27}{5}$，
則x_M=$\frac{44}{25}$，y_M=$\frac{33}{25}$，中點(diǎn)坐標(biāo)為M （$\frac{44}{25}$，$\frac{33}{25}$）．
（2）設(shè)切線方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=5+tcosα}\\{y=-3+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入圓的方程得t²+（10cos α-6sin α）t+9=0．
△=（10cos α-6sin α）²-36=0，
整理得cos α（8cos α-15sin α）=0，
cos α=0或tan α=$\frac{8}{15}$．
∴過(guò)A點(diǎn)切線方程為x=5，8x-15y-85=0．
又t_切=-$\frac{2a}$=3sin α-5cos α，
由cos α=0得t₁=3，由8cos α-15sin α=0，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{sinα=\frac{8}{17}}\\{cosα=\frac{15}{17}}\end{array}\right.$，可得t₂=-3．
將t₁，t₂代入切線的參數(shù)方程知，相應(yīng)的切點(diǎn)為（5，0），（$\frac{40}{17}$，-$\frac{75}{17}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線的距離公式，直線的點(diǎn)斜式方程，垂徑定理，勾股定理，以及兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．