Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²+xsinx+cosx+1
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（a，f（a））處的切線是y=b，求a與b的值；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）與直線y=b有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，解方程即可得到a=0，b=2；
（Ⅱ）求得導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值、最值，由題意可得b＞2．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²+xsinx+cosx+1的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=2x+sinx+xcosx-sinx=2x+xcosx，
即有在點(diǎn)（a，f（a））處的切線斜率為2a+acosa，
由切線為y=b，可得2a+acosa=0，a²+asina+cosa+1=b，
解得a=0，b=2；
（Ⅱ）f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x+xcosx=x（2+cosx），
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=0處取得極小值，且為最小值2．
曲線y=f（x）與直線y=b有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
可得b＞2．即為b的取值范圍是（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．