Question

4．已知函數(shù)f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x）（0＜a＜1）．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）解不等式f（x）≥log_a（3x）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)奇偶性的概念判斷即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，將不等式f（x）≥log_a（3x）化為：0＜$\frac{2+x}{2-x}$≤3x，解得答案；

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}2+x＞0\\ 2-x＞0\end{array}\right.$得：x∈（-2，2），
即函數(shù)的定義域（-2，2）關(guān)于原點(diǎn)對稱，
又由f（-x）=log_a（2-x）-log_a（2+x）=-[log_a（2+x）-log_a（2-x）]=-f（x），
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）∵0＜a＜1，
∴y=log_a（2+x）為減函數(shù)，y=log_a（2-x）為增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x）（0＜a＜1）為減函數(shù)，
則不等式f（x）≥log_a（3x）可化為：0＜$\frac{2+x}{2-x}$≤3x，
解得：x∈[$\frac{2}{3}$，1]．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．