Question

8．如下圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，E是棱C₁的
中點(diǎn)，且CF⊥AB，AC=BC．
（Ⅰ）求證：CF∥平面AEB1；
（Ⅱ）求證：平面AEB₁⊥平面ABB₁A₁．

Answer 1

分析 （I）取AB₁的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，證得四邊形CEGF為平行四邊形，即CF∥EG，再由線面平行的判定定理即可得證；
（II）運(yùn)用直三棱柱的定義和條件，運(yùn)用線面垂直的判定定理可得CF⊥平面ABB₁A₁，結(jié)合CF∥EG，再由面面垂直的判定定理，即可得證．

解答 證明：（I）取AB₁的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G；
∵CC₁∥BB₁ 且CC₁=BB₁，又∵E為CC₁的中點(diǎn)，
∴CE∥FG且CE=FG，
從而，四邊形CEGF為平行四邊形；
即CF∥EG，
又∵EG?面AEB₁，CF?面AEB₁
∴CF∥平面AEB₁．
（II）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
且CF?面ABC，
∴CF⊥AA₁；
又∵CF⊥AB且AB∩BB₁=B，
∴CF⊥平面ABB₁A₁．
由（1）有CF∥EG，∴EG⊥平面ABB₁A₁．
又∵EG?面AEB₁，
∴平面AEB₁⊥平面ABB₁A₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間線面平行的判定和面面垂直的判定，注意運(yùn)用判定定理和平面幾何的判定和性質(zhì)，考查推理和空間想象能力，屬于中檔題．