Question

13．△ABC為等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90°，D、E分別是邊AC和AB的中點，現將△ADE沿DE折起，使面ADE⊥面DEBC，H、F分別是邊AD和BE的中點，平面BCH與AE、AF分別交于I、G兩點
（Ⅰ）求證：IH∥BC；
（Ⅱ）求直線AE與平面角GIC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）DE∥BC，可得DE∥平面BCH，可得DE∥IH，即可證明IH∥BC．
（II）建立如圖所示的空間直角坐標系．設平面BCH的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CH}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=0}\end{array}\right.$，設直線AE與平面角GIC所成角為θ，則sinθ=|cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AE}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AE}|}$．

解答 （I）證明：DE∥BC，DE?平面BCH，BC?平面BCH，
∴DE∥平面BCH，
∵平面ADE∩平面BCH=IH，
∴DE∥IH，
∴IH∥BC．
（II）解：建立如圖所示的空間直角坐標系．
D（0，0，0），A（0，0，2），E（0，-2，0），C（2，0，0），
H（0，0，1），B（2，-4，0），
$\overrightarrow{CH}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{CB}$=（0，-4，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，-2，-2）．
設平面BCH的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CH}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2x+z=0}\\{-4y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，0，2）．
設直線AE與平面角GIC所成角為θ，則sinθ=|cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AE}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{4}{\sqrt{8}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查了空間位置關系、空間角、線面面面平行與垂直的判定性質定理、法向量的應用、數量積應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．