在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)P(3,
2
)且與x軸交于點(diǎn)F(2,0).
(1)求直線l的方程.
(2)如果橢圓C經(jīng)過點(diǎn)P,且以點(diǎn)F為它的一個(gè)焦點(diǎn),求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(3)若在(1)、(2)的情況下,設(shè)直線l與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,且
PM
=λ•
PQ
,當(dāng)|
OM
|
取最小值時(shí),求λ的對(duì)應(yīng)值.
分析:(1)由兩點(diǎn)式方程能夠得到直線方程.                              
(2)設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,依題意有:
9
a2
+
2
b2
=1
a2-4=b2
,解之得到所求橢圓方程.
(3)由
x2
12
+
y2
8
=1
y=
2
(x-2)
消去y得,x2-3x=0,所以x=0或x=3,代回直線方程可得y=-2
2
,或y=
2
.由此能夠求出當(dāng)|
OM
|
取最小值時(shí),λ的對(duì)應(yīng)值.
解答:解:(1)直線方程為
y
x-2
=
2
1
,整理,得y=
2
(x-2)
;                              
(2)設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,(5分)
依題意有:
9
a2
+
2
b2
=1
a2-4=b2
,解之得
a2=12
b2=8

所求橢圓方程為:
x2
12
+
y2
8
=1
…(8分)
(3)由
x2
12
+
y2
8
=1
y=
2
(x-2)
消去y得,x2-3x=0,
所以,x=0或x=3,代回直線方程可得y=-2
2
,或y=
2

因此知Q(0,-2
2
),P(3,
2
)
,(10分)
PM
=λ•
PQ
知,點(diǎn)M在直線PQ上,
當(dāng)|
OM
|
最小時(shí),OM⊥PQ,此時(shí)OM的方程為y=-
1
2
x
(12分)
y=
2
(x-2)
y=-
1
2
x
解得M(
4
3
,-
2
2
3
)
,(14分)
代入
PM
=λ•
PQ
λ=
5
9

所以,當(dāng)|
OM
|
最小時(shí),λ=
5
9
點(diǎn)評(píng):本題考查直線方程的求法、橢圓方程的求法和當(dāng)|
OM
|
取最小值時(shí),求λ的對(duì)應(yīng)值.解題時(shí)要注意兩點(diǎn)式方程的應(yīng)用、橢圓性質(zhì)的運(yùn)用和分類討論思想的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為:pcos(θ-
π3
)=1
,M,N分別為曲線C與x軸,y軸的交點(diǎn),則MN的中點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
 

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在平面直角坐標(biāo)系中,A(3,0)、B(0,3)、C(cosθ,sinθ),θ∈(
π
2
2
)
,且|
AC
|=|
BC
|

(1)求角θ的值;
(2)設(shè)α>0,0<β<
π
2
,且α+β=
2
3
θ
,求y=2-sin2α-cos2β的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,如果x與y都是整數(shù),就稱點(diǎn)(x,y)為整點(diǎn),下列命題中正確的是
 
(寫出所有正確命題的編號(hào)).
①存在這樣的直線,既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)
②如果k與b都是無(wú)理數(shù),則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點(diǎn)
③直線l經(jīng)過無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn)
④直線y=kx+b經(jīng)過無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是:k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,下列函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)(1,0)為圓心,r為半徑作圓,依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點(diǎn),若AC與BD的交點(diǎn)F恰好為拋物線的焦點(diǎn),則r=
 

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