13.已知拋物線C:y2=4x,圓F:(x-1)2+y2=1,過點(diǎn)(1,0)的直線l與拋物線C及圓F交于四點(diǎn),從上到下依次為A、B、C、D,若|AB|=3,則|CD|=(  )
A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

分析 求得圓的圓心和半徑,拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程,設(shè)出過F的直線代入拋物線的方程,消去y,可得x的方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,再由拋物線的定義,計(jì)算即可得到所求值.

解答 解:由圓F:(x-1)2+y2=1,
可得圓F的圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑為1.
拋物線的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線的方程為x=-1,
設(shè)過F點(diǎn)的直線l:y=k(x-1).
設(shè)A(x1,y1),D(x2,y2),
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-1)}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
即有x1x2=1,
由|AB|=3,可得|AF|=|AB|+|BF|=4,
由拋物線的定義可得4=x1+1,
解得x1=3,x2=$\frac{1}{3}$,
由拋物線的定義可得,|DF|=|CD|+|CF|=$\frac{1}{3}$+1,
解得|CD|=$\frac{1}{3}$.
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線和圓、直線和拋物線的關(guān)系,注意運(yùn)用拋物線的定義和焦半徑公式的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力,是中檔題.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.化簡(jiǎn):
(1)$\frac{cosα}{1-sinα}$=$\frac{1+sinα}{cosα}$;
(2)$\frac{tanαsinα}{tanα-sinα}$=$\frac{tanα+sinα}{tanαsinα}$.

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4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓x2+y2=4上的一點(diǎn)P(x0,y0)(x0,y0>0)處的切線l分別交x軸,y軸于點(diǎn)A,B,以A,B為頂點(diǎn)且以O(shè)為中心的橢圓記作C,直線OP交C于M,N兩點(diǎn).
(1)若橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,求P點(diǎn)的坐標(biāo)
(2)證明四邊形AMBN的面積S>8$\sqrt{2}$.

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1.已知點(diǎn)P是橢圓C上的任一點(diǎn),P到直線l1:x=-2的距離為d1,到點(diǎn)F(-1,0)的距離為d2,且$\frac{zonbpcf_{2}}{xdmf4a9_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B(A,B都在x軸上方),且
∠OFA+∠OFB=180°.
(i)當(dāng)A為橢圓C與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線l的方程;
(ii)是否存在一個(gè)定點(diǎn),無(wú)論∠OFA如何變化,直線l總過該定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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8.已知等差數(shù)列{an}的前15項(xiàng)之和為$\frac{15π}{4}$,則tan(a7+a8+a9)=( 。
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$B.$\sqrt{3}$C.-1D.1

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18.已知點(diǎn)A是拋物線M:y2=2px(p>0)與圓C:x2+(y-4)2=a2在第一象限的公共點(diǎn),且點(diǎn)A到拋物線M焦點(diǎn)F的距離為a,若拋物線M上一動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)C的距離之和的最小值為2a,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則直線OA被圓C所截得的弦長(zhǎng)為(  )
A.2B.2$\sqrt{3}$C.$\frac{7\sqrt{2}}{3}$D.$\frac{7\sqrt{2}}{6}$

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5.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),若y=$\frac{f(x)}{x}$在(0,+∞)上為增函數(shù),則稱f(x)為“一階比增函數(shù)”;若y=$\frac{f(x)}{{x}^{2}}$在(0,+∞)上增函數(shù),則稱f(x)為“二階比增函數(shù)”.
我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為A,所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為B.
(1)設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-2(a-2)x2+(a-1)x(x>0,a∈R)
①求證:當(dāng)a=0時(shí),f(x)∈A∩B;
②若f(x)∈A,且f(x)∉B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(2)對(duì)定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x),若f(x)∈B,且存在常數(shù)k使得?x∈(0,+∞),f(x)<k,求證:f(x)<0.

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2.把“二進(jìn)制”數(shù)1011001(2)化為“六進(jìn)制”數(shù)是225(6)

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3.如圖,直線e、f為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)兩條漸近線,F(xiàn)為右焦點(diǎn),過點(diǎn)F作FM∥f,交e于M,交雙曲線于R,且$\frac{FR}{FM}$∈[$\frac{1}{2}$,$\frac{2}{3}$],則雙曲線的離心率的取值范圍是[$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$].

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