Question

13．已知拋物線C：y²=4x，圓F：（x-1）²+y²=1，過點（1，0）的直線l與拋物線C及圓F交于四點，從上到下依次為A、B、C、D，若|AB|=3，則|CD|=（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 求得圓的圓心和半徑，拋物線的焦點和準線方程，設(shè)出過F的直線代入拋物線的方程，消去y，可得x的方程，運用韋達定理，再由拋物線的定義，計算即可得到所求值．

解答 解：由圓F：（x-1）²+y²=1，
可得圓F的圓心坐標為（1，0），半徑為1．
拋物線的焦點F（1，0），準線的方程為x=-1，
設(shè)過F點的直線l：y=k（x-1）．
設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$
得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
即有x₁x₂=1，
由|AB|=3，可得|AF|=|AB|+|BF|=4，
由拋物線的定義可得4=x₁+1，
解得x₁=3，x₂=$\frac{1}{3}$，
由拋物線的定義可得，|DF|=|CD|+|CF|=$\frac{1}{3}$+1，
解得|CD|=$\frac{1}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查了直線和圓、直線和拋物線的關(guān)系，注意運用拋物線的定義和焦半徑公式的應(yīng)用，考查了計算能力，是中檔題．