Question

【題目】如圖，設(shè)是棱長為的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，過從此頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的中點(diǎn)作截面，對正方體的所有頂點(diǎn)都如此操作，所得的各截面與正方體各面共同圍成一個(gè)多面體，則關(guān)于此多面體有以下結(jié)論：①有個(gè)頂點(diǎn)；②有條棱；③有個(gè)面；④表面積為；⑤體積為．其中正確的結(jié)論是____________．（要求填上所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

【答案】①②⑤

【解析】

解：如圖，

原來的六個(gè)面還在只不過是變成了一個(gè)小正方形，再添了八個(gè)頂點(diǎn)各對應(yīng)的一個(gè)三角形的面，所以總計(jì)6+8=14個(gè)面，故③錯(cuò)；

每個(gè)正方形4條邊，每個(gè)三角形3條邊，4×6+3×8=48，考慮到每條邊對應(yīng)兩個(gè)面，所以實(shí)際只有×48=24條棱．②正確；

所有的頂點(diǎn)都出現(xiàn)在原來正方體的棱的中點(diǎn)位置，

原來的棱的數(shù)目是12，所以現(xiàn)在的頂點(diǎn)的數(shù)目是12．

或者從圖片上可以看出每個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)4條棱，每條棱很明顯對應(yīng)兩個(gè)頂點(diǎn)，所以頂點(diǎn)數(shù)是棱數(shù)的一半即12個(gè)．①正確；

三角形和四邊形的邊長都是a，所以正方形總面積為6××a2=3a2，三角形總面積為8××a2sin60°=a2，表面積（3+）a2，故④錯(cuò)；

體積為原正方形體積減去8個(gè)三棱錐體積，每個(gè)三棱錐體積為8×（）3=a2，剩余總體積為a3-a3=a3⑤正確．

故答案為：①②⑤．