Question

11．已知數列{a_n}滿足a₁=-1，a₂＞a₁，|$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$|=2ⁿ（n∈N^*），若數列{a_2n-1}單調遞減，數列{a_2n}單調遞增，則數列{a_n}的通項公式為a_n=（-1）ⁿ$•{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$．

Answer 1

分析 數列{a_n}滿足a₁=-1，a₂＞a₁，|$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$|=2ⁿ（n∈N^*），可得$|\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}|$=2，a₂=2，a₃=-8，a₄=64．…，由于數列{a_2n-1}單調遞減，數列{a_2n}單調遞增，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=-{2}^{n}$，利用“累乘求積”即可得出．

解答 解：∵數列{a_n}滿足a₁=-1，a₂＞a₁，|$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$|=2ⁿ（n∈N^*），
∴$|\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}|$=2，解得a₂=2．同理可得：a₃=-8，a₄=64．
∵數列{a_2n-1}單調遞減，數列{a_2n}單調遞增，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=-{2}^{n}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…$•\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$
=（-1）ⁿ×2^n-1×2^n-2×…×2²×2×1
=（-1）ⁿ×${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$．
∴a_n=（-1）ⁿ$•{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$．
故答案為：（-1）ⁿ$•{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$．

點評 本題考查了遞推關系、數列的通項公式、“累乘求積”，可考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．