Question

14．已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知△ABC中的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若銳角A滿足f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，且a=7，sinB+sinC=$\frac{{13\sqrt{3}}}{14}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），易得最小正周期，解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$2kπ+$\frac{π}{2}$可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由題意易得A=$\frac{π}{3}$，由正弦定理可得b+c=13，由余弦定理可得bc=40，代入面積公式S=$\frac{1}{2}$bcsinA計(jì)算可得．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）…（2分）
∴y=f（x）的最小正周期為T=π…（3分）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]（k∈Z），…（6分）
（Ⅱ）∵f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，∴2sinA=$\sqrt{3}$，
∵0＜A＜$\frac{π}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$．…（7分）
由正弦定理得：sinB+sinC=$\frac{{13\sqrt{3}}}{14}$=$\frac{b+c}{7}×\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴b+c=13…（9分）
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosA，
代入數(shù)據(jù)可得49=169-3bc，∴bc=40…（11分）
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×40×\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性以及解三角形，屬中檔題．