Question

5．如圖所示為某幾何體形狀的紙盒的三視圖，在此紙盒內(nèi)放一個(gè)小正四面體，若小正四面體在紙盒內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則小正四面體的棱長(zhǎng)的最大值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• D． $\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$

Answer 1

分析 由三視圖得紙盒是正四面體，由正視圖和俯視圖得求出正四面體的棱長(zhǎng)，由題意得小正四面體的外接球是紙盒的內(nèi)切球，利用“設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則內(nèi)切球的半徑為$\frac{\sqrt{6}}{12}a$，外接球的半徑是$\frac{\sqrt{6}}{4}a$”，列出方程求出小正四面體的棱長(zhǎng)的最大值．

解答 解：由三視圖得紙盒是正四面體，
由正視圖和俯視圖得，正四面體的棱長(zhǎng)是$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵在此紙盒內(nèi)放一個(gè)小正四面體，若小正四面體在紙盒內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，
∴小正四面體的外接球是紙盒的內(nèi)切球，
設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則內(nèi)切球的半徑為$\frac{\sqrt{6}}{12}a$，外接球的半徑是$\frac{\sqrt{6}}{4}a$，
∴紙盒的內(nèi)切球半徑是$\frac{\sqrt{6}}{12}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
設(shè)小正四面體的棱長(zhǎng)是x，則$\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}x$，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴小正四面體的棱長(zhǎng)的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正四面體的三視圖，正四面體的棱長(zhǎng)與內(nèi)切球的半徑、外接球的半徑關(guān)系式的應(yīng)用，牢記結(jié)論是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力．