Question

13．如圖，過圓E外一點(diǎn)A作一條直線與圓E交于B，C兩點(diǎn)，且AB=$\frac{1}{3}$AC，作直線AF與圓E相切于點(diǎn)F，連結(jié)EF交BC于點(diǎn)D，已知圓E的半徑為2，∠EBC=30°．
（Ⅰ）求AF的長(zhǎng)；
（Ⅱ）求$\frac{ED}{AD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可延長(zhǎng)BE并交圓E于M，并連接CM，從而畫出圖形，根據(jù)條件便可求出BC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AC的長(zhǎng)，從而根據(jù)切割線定理求出AF的長(zhǎng)；
（Ⅱ）可過E作EH⊥BC，從而可得出△EDH與△ADF相似，從而有$\frac{ED}{AD}=\frac{EH}{AF}$，再根據(jù)題意即可得出EH的長(zhǎng)，從而便可求出$\frac{ED}{AD}$的值．

解答 解：（Ⅰ）如圖，延長(zhǎng)BE交圓E于點(diǎn)M，連結(jié)CM，則∠BCM=90°，

又BM=2BE=4，∠EBC=30°，所以$BC=2\sqrt{3}$，
又$AB=\frac{1}{3}AC$，可知$AB=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$，所以$AC=3\sqrt{3}$．
根據(jù)切割線定理得$A{F^2}=AB•AC=\sqrt{3}×3\sqrt{3}=9$，即AF=3．
（Ⅱ）過E作EH⊥BC于H，則△EDH∽△ADF，從而有$\frac{ED}{AD}=\frac{EH}{AF}$，

又由題意知$BH=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}，BE=2$
所以EH=1，
因此$\frac{ED}{AD}=\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查直徑所對(duì)圓周角為直角，三角函數(shù)定義，以及切割線定理，三角形相似的判定，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系．