Question

20．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右頂點(diǎn)A是拋物線y²=8x的焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在過(guò)點(diǎn)P（0，$\frac{5}{3}$）的直線l與橢圓交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)，且使$\overrightarrow{QM}$=4$\overline{QN}$-3$\overline{QP}$成立（Q為直線l外的一點(diǎn)）？若存在，求出l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意運(yùn)用離心率公式和拋物線的焦點(diǎn)，可得a，c，b，即可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）根據(jù)$\overrightarrow{QM}$=4$\overline{QN}$-3$\overline{QP}$，可得$\overrightarrow{NM}$=3$\overrightarrow{PN}$，再分類討論：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，M（0，-1），N（0，1），符合條件，此時(shí)直線方程x=0；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+$\frac{5}{3}$，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量條件，即可確定不存在．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
拋物線y²=8x的焦點(diǎn)為（2，0），
即有a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{QM}$=4$\overline{QN}$-3$\overline{QP}$，
∴$\overrightarrow{NM}$=3$\overrightarrow{PN}$，①
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，M（0，-1），N（0，1），符合條件，
此時(shí)直線方程x=0；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+$\frac{5}{3}$，代入橢圓方程，消元可得：
（9+36k²）x²+120kx+64=0，
由△=14400k²-256（9+36k²）＞0，可得k²＞$\frac{4}{9}$，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{120k}{9+36{k}^{2}}$②，x₁x₂=$\frac{64}{9+36{k}^{2}}$③，
由①得x₁=4x₂④，
由②③④消去x₁，x₂，可得$\frac{16}{9+36{k}^{2}}$=$\frac{（24k）^{2}}{（9+36{k}^{2}）^{2}}$，
∴9=0，矛盾．
綜上，存在符合條件的直線l：x=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程的聯(lián)立，利用韋達(dá)定理解題．