Question

5．設$（f（x，y））=（{\begin{array}{l}xy1\end{array}}）（{\begin{array}{l}1&0&1\\ 0&1&1\\ 1&1&{-2}\end{array}}）（{\begin{array}{l}x\\ y\\ 1\end{array}}）$，點A（x₁，y₁）滿足方程f（x，y）=0，點B（-1，-1）．
（1）計算$|{\overrightarrow{AB}}$|； 
（2）O為坐標原點，當$\overrightarrow{AO}$⊥$\overrightarrow{BO}$時，計算$|{\overrightarrow{AO}}$|； 
（3）求$|{\overrightarrow{OA}}$|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用定義，可得${（{x_1}+1）^2}+{（{y_1}+1）^2}={2^2}\end{array}$，所以A在以（-1，-1）為圓心，2為半徑的圓上，即可計算$|{\overrightarrow{AB}}$|； 
（2）O為坐標原點，當$\overrightarrow{AO}$⊥$\overrightarrow{BO}$時，利用勾股定理計算$|{\overrightarrow{AO}}$|； 
（3）當$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$同向時，${\overrightarrow{OA}_{max}}=2+\sqrt{2}$，當$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$反向時，$\overrightarrow{OA}min$=2-$\sqrt{2}$，求$|{\overrightarrow{OA}}$|的取值范圍．

解答 解：（1）$（f（x，y））=（{\begin{array}{l}xy1\end{array}}）（{\begin{array}{l}1&0&1\\ 0&1&1\\ 1&1&{-2}\end{array}}）（{\begin{array}{l}x\\ y\\ 1\end{array}}）$=（x²+y²+2x+2y-2），
∴${（{x_1}+1）^2}+{（{y_1}+1）^2}={2^2}\end{array}$
∴點A在以（-1，-1）為圓心，2為半徑的圓上．所以$|{\overrightarrow{AB}}|=2$；$（2）∵\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{BO}∴{|{\overrightarrow{AO}}|^2}={|{\overrightarrow{AB}}|^2}-{|{\overrightarrow{OB}}|^2}={2^2}-{（\sqrt{2}）^2}=2∴|{\overrightarrow{AO}}|=\sqrt{2}$；
（3）當$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$同向時，${\overrightarrow{OA}_{max}}=2+\sqrt{2}$，當$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$反向時，$\overrightarrow{OA}min$=2-$\sqrt{2}$，
∴$|{\overrightarrow{AO}}|∈[{2-\sqrt{2}，2+\sqrt{2}}]$．

點評 本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，屬于中檔題．