Question

已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x+1）=f（x-1），且當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x²，則y=f（x）
與y=|log₅x|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　　）

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,函數(shù)的周期性,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先畫出函數(shù)y=f（x）在一個(gè)周期[-1，1]內(nèi)的圖象，再由函數(shù)y=f（x），（x∈R）滿足f（x+1）=f（x-1），可知其正確T=2，從而畫出函數(shù)y=f（x），x∈R的圖象．再畫出函數(shù)y=|log₅x|的圖象，及根據(jù)其單調(diào)性即可求出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答： 解：∵函數(shù)y=f（x），（x∈R）滿足f（x+1）=f（x-1），
∴?x∈R，都有f（x+2）=f（x），即函數(shù)的周期T=2．
先畫出x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x²的圖象，其值域?yàn)閇0，1]，再根據(jù)函數(shù)的周期T=2，可畫出函數(shù)y=f（x），（x∈R）的圖象；
再畫出函數(shù)y=|log₅x|的圖象，即把函數(shù)y=log₅x的在x軸下方的部分對(duì)稱的翻到x軸上方．
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）=x²的圖象與y=-log₅x的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)1＜x≤5時(shí)，∵0＜log₅x≤1，0≤f（x）≤1及單調(diào)性和圖象如圖所示：二函數(shù)有4個(gè)交點(diǎn)．
綜上共有5個(gè)交點(diǎn)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，正確畫出二函數(shù)的圖象和理解函數(shù)的單調(diào)性周期性以及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．