Question

20．設常數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=$\frac{x^2}{1+x}$-alnx
（Ⅰ）當a=$\frac{3}{4}$時，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）求證：f（x）有唯一的極值點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）令g（x）=x³+（2-a）x²-2ax-a，要證f（x）有唯一的極值點，即證g（x）在（0，+∞）有唯一的變號零點，求出g（x）的導數(shù)，得到g（x₂）•g（a+1）＜0，從而證出結論．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{{x}^{3}+（2-a{）x}^{2}-2ax-a}{{x（1+x）}^{2}}$，
a=$\frac{3}{4}$時，f′（x）=$\frac{{4x}^{3}+{5x}^{2}-6x-3}{4{x（1+x）}^{2}}$=$\frac{（x-1）（{4x}^{2}+9x+3）}{4{x（1+x）}^{2}}$，
∵x＞0，∴$\frac{{4x}^{2}+9x+3}{4{x（1+x）}^{2}}$＞0，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴x=1時，f（x）最小，最小值是f（1）=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=$\frac{{x}^{3}+（2-a{）x}^{2}-2ax-a}{{x（1+x）}^{2}}$，
令g（x）=x³+（2-a）x²-2ax-a，
要證f（x）有唯一的極值點，即證g（x）在（0，+∞）有唯一的變號零點，
而g′（x）=3x²+（4-2a）x-2a，
令g′（x）=0，解得：x₁=$\frac{a-2-\sqrt{{a}^{2}+2a+4}}{3}$，x₂=$\frac{a-2+\sqrt{{a}^{2}+2a+4}}{3}$，
其中x₁＜0，x₂＞0，∵g′（0）=-2a＜0，且g′（x）的圖象開口向上，
故在區(qū)間（0，x₂）上，g′（x）＜0，g（x）遞減，
∴g（x₂）＜g（0）=-a＜0，
在區(qū)間（x₂，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）遞增，
∵g（x）=x²（x-a）+2x（x-a）-a，
∴g（a+1）=（a+1）²+a+2＞0，
∴g（x₂）•g（a+1）＜0，即g（x）在（0，+∞）上有唯一零點，
即f（x）在（0，+∞）上有唯一的極值點且是極小值點．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)的零點的證明，是一道綜合題．