Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-mlnx，g（x）=x²-（m+1）x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)m≥1時，討論函數(shù)f（x）與g（x）圖象的交點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）令F（x）=f（x）-g（x），問題等價于求F（x）的零點個數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及m的范圍，求出即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=x-$\frac{m}{x}$=$\frac{{x}^{2}-m}{x}$，
m≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，
m＞0時，$f'（x）=\frac{{（x+\sqrt{m}）（x-\sqrt{m}）}}{x}$，…（2分）
當(dāng)$0＜x＜\sqrt{m}$時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減，
當(dāng)$x＞\sqrt{m}$時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增．
綜上：m≤0時，f（x）在（0，+∞）遞增；
m＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是$（\sqrt{m}，+∞）$，減區(qū)間是$（0，\sqrt{m}）$．…（5分）
（2）令$F（x）=f（x）-g（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+（m+1）x-mlnx，x＞0$，
問題等價于求函數(shù)F（x）的零點個數(shù)，…（6分）
$F'（x）=-\frac{（x-1）（x-m）}{x}$，當(dāng)m=1時，F(xiàn)'（x）≤0，函數(shù)F（x）為減函數(shù)，
注意到$F（1）=\frac{3}{2}＞0$，F(xiàn)（4）=-ln4＜0，所以F（x）有唯一零點；…（8分）
當(dāng)m＞1時，0＜x＜1或x＞m時F'（x）＜0，1＜x＜m時F'（x）＞0，
所以函數(shù)F（x）在（0，1）和（m，+∞）單調(diào)遞減，在（1，m）單調(diào)遞增，
注意到$F（1）=m+\frac{1}{2}＞0$，F(xiàn)（2m+2）=-mln（2m+2）＜0，
所以F（x）有唯一零點；         …（11分）
綜上，函數(shù)F（x）有唯一零點，即兩函數(shù)圖象總有一個交點．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．