Question

3．如圖，橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$═1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x軸被曲線C₂：y=x²-b截得的線段長等于C₁的長半軸長．C₂與y軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C₂相交于點(diǎn)A，B，兩直線MA，MB分別與C₁相交于點(diǎn)D，E．
①曲線C₁，C₂的方程分別為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，y=x²-1；
②MD⊥ME；
③記△MAB，△MDE的面積分別為S₁，S₂，則$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最大值為$\frac{25}{64}$；
④記△MAB，△MDE的面積分別為S₁，S₂，當(dāng)$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{17}{32}$時(shí)，直線l的方程為：y=$\frac{3}{2}$x或y=-$\frac{3}{2}$x．
以上列說法正確的有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 ①由$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a²=b²+c²，可解得a=2b．在y=x²-b中，令y=0，可得2$\sqrt$=a．聯(lián)立解出即可得出．
②由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，得x²-kx-1=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把根與系數(shù)的關(guān)系代入$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=x₁x₂+（y₁+1）（y₂+1）=0，可得MA⊥MB，即可判斷出結(jié)論．
③設(shè)直線MA的斜率為k，則直線MA的方程為y=kx-1．由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（k，k²-1）．又直線MB的斜率為-$\frac{1}{k}$，同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為$（-\frac{1}{k}，\frac{1}{{k}^{2}}-1）$，于是S₁=$\frac{1}{2}$|MA|•|MB|=$\frac{1+{k}^{2}}{2|k|}$．由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+4k₁²）x²-8k₁x=0．可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為$（\frac{8k}{1+4{k}^{2}}，\frac{4{k}^{2}-1}{1+4{k}^{2}}）$．同理可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為$（\frac{-8k}{4+{k}^{2}}，\frac{4-{k}^{2}}{4+{k}^{2}}）$．于是S₂=$\frac{1}{2}$|MD|•|ME|．故$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{64}$$（4{k}^{2}+\frac{4}{{k}^{2}}+17）$．利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出結(jié)論．
④由③令$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{64}$$（4{k}^{2}+\frac{4}{{k}^{2}}+17）$=$\frac{17}{32}$，解得k²，可得k_l=$\frac{{k}^{2}-1}{k}$，即可得出．

解答 解：①∵$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a²=b²+c²，可解得a=2b．在y=x²-b中，令y=0，得x=$±\sqrt$，∴2$\sqrt$=a．
聯(lián)立解得a=2，b=1．∴曲線C₁，C₂的方程分別為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，y=x²-1．
②由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，得x²-kx-1=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-1．
∵M(jìn)（0，-1），∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=x₁x₂+（y₁+1）（y₂+1）=x₁x₂+y₁y₂+y₁+y₂+1=-1-k²+k²+1=0，
∴MA⊥MB，∴MD⊥ME．
③設(shè)直線MA的斜率為k，則直線MA的方程為y=kx-1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=k}\\{y={k}^{2}-1}\end{array}\right.$．則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（k，k²-1）．
又直線MB的斜率為-$\frac{1}{k}$，同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為$（-\frac{1}{k}，\frac{1}{{k}^{2}}-1）$，
于是S₁=$\frac{1}{2}$|MA|•|MB|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{k}^{2}+{k}^{4}}$•$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}+\frac{1}{{k}^{4}}}$=$\frac{1+{k}^{2}}{2|k|}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+4k₁²）x²-8k₁x=0．
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8k}{1+4{k}^{2}}}\\{y=\frac{4{k}^{2}-1}{1+4{k}^{2}}}\end{array}\right.$，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為$（\frac{8k}{1+4{k}^{2}}，\frac{4{k}^{2}-1}{1+4{k}^{2}}）$．
又直線ME的斜率為-$\frac{1}{k}$．同理可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為$（\frac{-8k}{4+{k}^{2}}，\frac{4-{k}^{2}}{4+{k}^{2}}）$．
于是S₂=$\frac{1}{2}$|MD|•|ME|=$\frac{32（1+{k}^{2}）|k|}{（1+4{k}^{2}）（4+{k}^{2}）}$．故$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{64}$$（4{k}^{2}+\frac{4}{{k}^{2}}+17）$≥$\frac{2\sqrt{4{k}^{2}×\frac{4}{{k}^{2}}}+17}{64}$=$\frac{25}{64}$，
當(dāng)且僅當(dāng)k²=1時(shí)取等號(hào)，因此不正確．
④由③令$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{64}$$（4{k}^{2}+\frac{4}{{k}^{2}}+17）$=$\frac{17}{32}$，解得k²=4或$\frac{1}{4}$，
∴k_l=$\frac{{k}^{2}-1}{k}$=$±\frac{3}{2}$．∴直線l的方程為：y=$\frac{3}{2}$x或y=-$\frac{3}{2}$x．正確．
綜上可得：只有①②④正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓拋物線相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．