Question

13．若定義在[-2010，2010]上的函數(shù)f（x）滿足：對任意x₁，x₂∈[-2010，2010]，有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2009，且x＞0時(shí)，有f（x）＞2009，f（x）的最大值、最小值分別為M，N，則M+N=4018．

Answer 1

分析 利用恒等式和賦值法求f（0）的值，令x₁=x，x₂=-x代入恒等式化簡后，由函數(shù)奇偶性的定義構(gòu)造F（x）=f（x）-2009，并判斷為奇函數(shù)，由恒等式、條件和函數(shù)的單調(diào)性判斷出f（x）的單調(diào)性，可求出答案．

解答 解：∵對任意x₁，x₂∈[-2010，2010]，有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2009，
∴令x₁=x₂=0，則f（0）=2009，令x₁=x，x₂=-x，
則f（0）=f（x）+f（-x）-2009，得2009=f（x）+f（-x）-2009，
即f（x）+f（-x）=2×2009，且f（-x）-2009=-[f（x）-2009]，
∴F（x）=f（x）-2009為奇函數(shù)，即f（x）關(guān)于點(diǎn)（0，2009）對稱；
∵-2010≤x₁＜x₂≤2010，不妨設(shè)x₂=x₁+h（h＞0），則f（h）＞2009，
∴f（x₂）=f（x₁）+f（h）-2009＞f（x₁），
∴f（x）在[-2010，2010]上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴M+N=f（2009）+f（-2009）=2×2009=4018，
故答案為：4018．

點(diǎn)評 本題考查抽象函數(shù)的函數(shù)值、奇偶性、單調(diào)性問題，以及賦值法、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，構(gòu)造法的應(yīng)用，根據(jù)恒等式、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性進(jìn)行正確賦值是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題．