Question

13．△ABC在平面內(nèi)，點(diǎn)P在外，PC⊥面ABC，且∠BPA=90°，則∠BCA是（　�。�

• A． 直角
• B． 銳角
• C． 鈍角
• D． 直角或銳角

Answer 1

分析 由線面垂直得出PC⊥AC，PC⊥BC，設(shè)AC=a，BC=b，PC=c，利用勾股定理計(jì)算AC，BC，AB，利用余弦定理計(jì)算cos∠ACB，判斷cos∠ACB的符號(hào)得出答案．

解答 解∵PC⊥平面ABC，AC?平面ABC，BC?平面ABC，
∴PC⊥AC，PC⊥BC．
設(shè)AC=a，BC=b，PC=c，
則PA=$\sqrt{P{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$，PB=$\sqrt{P{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$，
∵∠BPA=90°，
∴AB=$\sqrt{P{A}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+2{c}^{2}+^{2}}$，
∴AC²+BC²-AB²=a²+b²-（a²+b²+2c²）=-2c²＜0，
∴cos∠ACB=$\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}-A{B}^{2}}{2AC•BC}$＜0．
∴∠ACB為鈍角．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的性質(zhì)，余弦定理，屬于中檔題．