Question

5．已知一個扇形的周長為l，則扇形的面積最大值為$\frac{{l}^{2}}{16}$．

Answer 1

分析 設扇形的圓心角為θ，半徑為r．可得：2r+θr=l．解得θ=$\frac{l-2r}{r}$＞0．可得S=$\frac{1}{2}θ{r}^{2}$=$\frac{1}{4}$（l-2r）2r，再利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：設扇形的圓心角為θ，半徑為r．
則2r+θr=l．
∴θ=$\frac{l-2r}{r}$＞0．
∴S=$\frac{1}{2}θ{r}^{2}$=$\frac{1}{2}×\frac{l-2r}{r}$×r²=$\frac{1}{4}$（l-2r）2r≤$\frac{1}{4}（\frac{l-2r+2r}{2}）^{2}$=$\frac{{l}^{2}}{16}$，當且僅當r=$\frac{l}{4}$時取等號．
故答案為：$\frac{{l}^{2}}{16}$．

點評 本題考查了扇形面積計算公式、弧長公式、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．