Question

11．過橢圓C：$\frac{{x_{\;}^2}}{{a_{\;}^2}}+\frac{{y_{\;}^2}}{{b_{\;}^2}}=1$（a＞b＞0）的左頂點A且斜率為k的直線交橢圓C于另一點B．且點B在x軸上射影恰好為右焦點F，若$\frac{1}{6}＜|k|＜\frac{1}{3}$，則橢圓C的離心率取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{2}{3}，\frac{5}{6}$）
• B． （$\frac{2}{3}$，1）
• C． （$\frac{1}{4}，\frac{3}{4}$）
• D． （$\frac{1}{4}，\frac{5}{4}$）

Answer 1

分析 F（c，0），把x=c代入橢圓方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，解得y=±$\frac{^{2}}{a}$．B$（c，±\frac{^{2}}{a}）$，可得k=$\frac{±\frac{^{2}}{a}-0}{c+a}$=±（1-e），利用$\frac{1}{6}＜|k|＜\frac{1}{3}$，解出即可得出．

解答 解：F（c，0），把x=c代入橢圓方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，解得y=±$\frac{^{2}}{a}$．
∴B$（c，±\frac{^{2}}{a}）$，∴k=$\frac{±\frac{^{2}}{a}-0}{c+a}$=±$\frac{a-c}{a}$=±（1-e），
∵$\frac{1}{6}＜|k|＜\frac{1}{3}$，∴$\frac{1}{6}＜1-e＜\frac{1}{3}$，
解得$\frac{2}{3}＜e＜\frac{5}{6}$．
則橢圓C的離心率取值范圍是$（\frac{2}{3}，\frac{5}{6}）$．
故選：A．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計算公式、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．