Question

3．已知過點A（-1，0）的動直線l與圓C：x²+（y-3）²=4相交于P、Q兩點，M是PQ中點，l與直線m：x+3y+6=0相交于N．
（1）當PQ=2$\sqrt{3}$時，求直線l的方程；
（2）探索$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$是否為定值，若是，請求出其值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過①當直線l與x軸垂直時，說明x=-1符合題意．②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x+1），即kx-y+k=0，利用點到直線的距離求解即可求出直線方程．
（2）通過CM⊥AN轉化為數(shù)量積為0，通過①當l與x軸垂直時，當L的斜率存在時，設直線L的方程為y=k（x+1），即kx-y+k=0，推出$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$為定值．

解答 解：（1）①當直線l與x軸垂直時，易知x=-1符合題意…（2分）
②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x+1），即kx-y+k=0，
∵PQ=2$\sqrt{3}$，∴CM=$\sqrt{4-3}$=1，則由CM=$\frac{|-k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，得k=$\frac{4}{3}$，
∴直線l：4x-3y+4=0．
故直線l的方程為x=-1或4x-3y+4=0…（6分）
（2）∵CM⊥AN，∴$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{AN}=0$，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}）•\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AN}$
…（8分）
①當l與x軸垂直時，易得N（-1，$-\frac{5}{3}$），則$\overrightarrow{AN}$=（0，$-\frac{5}{3}$），又$\overrightarrow{AC}=（1，3）$，
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AN}=-5$…（9分）
當L的斜率存在時，設直線L的方程為y=k（x+1），即kx-y+k=0，
則由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+1）\\ x+3y+6=0\end{array}\right.$，得N（$\frac{-3k-6}{1+3k}$，$\frac{-5k}{1+#k}$），則$\overrightarrow{AN}$=（$\frac{-5}{1+3k}，\frac{-5k}{1+3k}$）
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AN}=\frac{-5}{1+3k}+\frac{-15k}{1+3k}=-5$
綜上所述，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$為定值，且$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=-5$．…（12分）

點評 本題考查圓的方程的綜合應用，斜率的數(shù)量積的應用，考查計算能力，轉化思想以及分類討論思想的應用．