Question

20．已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形，PA⊥面ABCD，PA=AD=2，∠ABC=60°，E為PD中點．
（1）求證：PB∥平面ACE；
（2）求二面角E-AC-D的正切值．

Answer 1

分析 （1）記BD∩AC=O，連結(jié)OE，推導(dǎo)出EO∥PB，由經(jīng)能證明PB∥平面ACE．
（2）取AD的中點F，過F作FG⊥AC，垂足為點G，連接EG，則∠EGF為二面角E-AC-D的平面角，由此能求出二面角E-AC-D的正切值．

解答 證明：（1）記BD∩AC=O，連結(jié)OE．
∵四棱錐P-ABCD的底面是菱形，∴O為BD中點．
又∵E為PD中點，∴EO∥PB
又∵PB?平面ACE，EO?平面ACE，
故PB∥平面ACE； …（4分）
解：（2）如圖，取AD的中點F，過F作FG⊥AC，垂足為點G，
連接EG，則∠EGF為二面角E-AC-D的平面角，
在Rt△∠EFG中，$EF=1，F(xiàn)G=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，故$tan∠EGF=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
即二面角E-AC-D的正切值為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．…（6分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．