Question

8．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)．
（1）證明：D₁E⊥A₁D；
（2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD₁的距離；
（3）AE等于何值時(shí)，二面角D₁-EC-D的大小為$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 （1）建立如圖的坐標(biāo)系，則$\overrightarrow{D{A_1}}=（{1，0，1}）$，設(shè)E（1，t，0），則$\overrightarrow{{D_1}E}=（{1，t，-1}）$，通過向量的數(shù)量積為0，計(jì)算可得D₁E⊥A₁D；
（2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，E（1，1，0），$\overrightarrow{{D_1}E}=（{1，1，-1}）$，求出平面ACD₁的一個(gè)法向量，最后利用點(diǎn)到面的距離公式即可求點(diǎn)E到面ACD₁的距離．
（2）求出平面的法向量，利用二面角的夾角關(guān)系建立方程進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）分別以DA、DC、DD₁為x、y、z軸，建立如圖的坐標(biāo)系，則$\overrightarrow{D{A_1}}=（{1，0，1}）$，
設(shè)AE=x，則A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．
則$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（1．x，-1），$\overrightarrow{D{A_1}}•\overrightarrow{{D_1}E}=1-1=0$，
∴D₁E⊥A₁D；
（2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，E（1，1，0），$\overrightarrow{{D_1}E}=（{1，1，-1}）$，
設(shè)平面ACD₁的法向量是$\overrightarrow{n}=（1，y，z）$，
求出$\overrightarrow{A{D_1}}=（{-1，0，1}）$，$\overrightarrow{AC}=（{-1，2，0}）$，
由$\overrightarrow n•\overrightarrow{A{D_1}}=0，\overrightarrow N•\overrightarrow{AC}=0$，得$\overrightarrow n=（{1，\frac{1}{2}，1}）$
∵$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（1，1，-1）
由點(diǎn)到平面的距離公式，得$d=\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{D}_{1}E}|}{|\overrightarrow{n}|}=\frac{|1×1+\frac{1}{2}×1+1×（-1）|}{\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+{1}^{2}}}=\frac{1}{3}$，
∴點(diǎn)E到面ACD₁的距離是$\frac{1}{3}$．
（3）設(shè)平面D₁EC的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
∴$\overrightarrow{CE}$=（1，x-2，0），$\overrightarrow{{D_1}C}$=（0，2，-1），$\overrightarrow{D{D_1}}$=（0，0，1）．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{D}_{1}C}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\end{array}\right.\;⇒\left\{\begin{array}{l}{2b-c=0}\\{a+b（x-2）=0}\end{array}\right.$．
令b=1，
∴c=2，a=2-x．∴$\overrightarrow{n}$=（2-x，1，2）．
依題意：cos$\frac{π}{6}$=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{D{D}_{1}}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即$\frac{2}{\sqrt{（x-2）^{2}+1+{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
平方得（x-2）²=$\frac{1}{3}$，
∴${x_1}=2+\frac{{\sqrt{3}}}{3}$（不合題意，舍去），${x_2}=2-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∴$AE=2-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$時(shí)，二面角D₁-EC-D的大小為$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間直線垂直，點(diǎn)到平面的距離以及二面角的應(yīng)用，利用空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量法是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．