Question

4．已知a，b均為大于1的自然數(shù)，若圓心在原點的單位圓O上存在點（x₀，y₀），使得b+x₀=a（b+y₀）成立．則a+b=4．

Answer 1

分析 由題意設x₀=cosθ，y₀=sinθ，則b+cosθ=a（b+sinθ），即asinθ-cosθ=b-ab，把等式左邊利用輔助角公式化積，可得-$\sqrt{{a}^{2}+1}$≤b（1-a）≤$\sqrt{{a}^{2}+1}$，結合a，b均為大于1的自然數(shù)，得到b≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}+1}{（a-1）^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2a}{（a-1）^{2}}}$．由a≥4時，b＜2，可得a＜4．然后分a=2和a=3分類分析得答案．

解答 解：由題意設x₀=cosθ，y₀=sinθ，則
b+cosθ=a（b+sinθ），即asinθ-cosθ=b-ab，
∴$\sqrt{{a}^{2}+1}$•sin（θ-α）=b（1-a）（sinα=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$），
∵-1≤sin（θ-α）≤1，
∴-$\sqrt{{a}^{2}+1}$≤b（1-a）≤$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
∵a，b均為大于1的自然數(shù)，
∴1-a＜0，b（1-a）＜0，
∴b（1-a）≥-$\sqrt{{a}^{2}+1}$，即b（a-1）≤$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
則b≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}+1}{（a-1）^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2a}{（a-1）^{2}}}$．
∵a≥4時，$\frac{2a}{（a-1）^{2}}＜1$，b＜2，
∴a＜4．
當a=2時 b≤$\sqrt{5}$，∴b=2；
當a=3時  b≤$\sqrt{\frac{5}{2}}$無解．
綜上：a=2，b=2，即a+b=4．
故答案為：4．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查了圓的參數(shù)方程的應用，考查邏輯推理能力和運算能力，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．