Question

14．已知i是虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)z滿足（z-3）（2-i）=5．
（Ⅰ）求z及|z-2+3i|；
（Ⅱ）若z•（a+i）是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則，進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算，再求模長(zhǎng)；
（Ⅱ）根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則，進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由純虛數(shù)的定義，列出方程求出a的值．

解答 解：（Ⅰ）∵（z-3）（2-i）=5，
∴z=$\frac{5}{2-i}$+3=$\frac{5（2+i）}{（2-i）（2+i）}$+3=（2+i）+3=5+i       …（4分）
∴|z-2+3i|=|3+4i|=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5；       …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知z=5+i，
∴z•（a+i）=（5+i）（a+i）=（5a-1）+（a+5）i；  …（10分）
又z•（a+i）是純虛數(shù)，
∴5a-1=0且a+5≠0；
解得$a=\frac{1}{5}$．     …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的概念與代數(shù)形式的運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題目．