Question

11．已知f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin2x+cos²x-$\frac{1}{2}$，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及在區(qū)間$[{0，\;\frac{π}{2}}]$的最大值；
（Ⅱ）若f（x₀）=$\frac{1}{3}$，${x_0}∈[{\frac{π}{6}，\;\frac{5π}{12}}]$，求sin2x₀的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）借助二倍角公式和輔助角公式化簡，得到最小正周期，由x的范圍結(jié)合正弦函數(shù)圖象得到f（x）的范圍．
（Ⅱ）由f（x₀）=$\frac{1}{3}$，${x_0}∈[{\frac{π}{6}，\;\frac{5π}{12}}]$，可以得到cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，

解答 解�。á瘢�∵f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin2x+cos²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin 2x+$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin 2x+$\frac{1}{2}$cos 2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為π，
∵x∈$[{0，\;\frac{π}{2}}]$，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
所以f（x）在區(qū)間$[{0，\;\frac{π}{2}}]$的最大值是1．
（Ⅱ）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x₀）=$\frac{1}{3}$，
∴sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，
又∵${x_0}∈[{\frac{π}{6}，\;\frac{5π}{12}}]$，
∴2x₀+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，π]，
∴cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin2x₀=sin（2x₀+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$
=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-（-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$．

點評 本題考查三角函數(shù)解析式的化簡，以及由x的范圍，得到解析式的范圍，需結(jié)合圖象得到．