Question

20．2015年12月10日，我國科學家屠呦呦因發(fā)現青蒿素治療瘧疾的療法上的貢獻獲得諾貝爾醫(yī)學獎，以青蒿素類藥物為主的聯(lián)合療法已經成為世界衛(wèi)生組織推薦的抗瘧疾標準療法．目前，國內青蒿人工種植發(fā)展迅速，調查表明，人工種植的青蒿的長勢與海拔高度，土壤酸堿度，空氣溫度的指標有極強的相關性，現將這三項的指標分別記為x，y，z，并對它們進行量化：0表示不合格，1表示臨界合格，2表示合格，再綜合指標ω=x+y+z的值，評定人工種植的青蒿的長勢等級，若ω≥4，則長勢為一級，若2≤ω≤3，則長勢為二級，若0≤ω≤1，則長勢為三級，為了了解目前人工種植的青蒿的長勢情況，研究人員隨機抽取了10塊青蒿人工種植地，得到如表結果：

種植地編號	A1	A2	A3	A4	A5
（x，y，z）	（0，1，0）	（1，2，1）	（2，1，1）	（2，2，2）	（0，1，1）
種植地編號	A6	A7	A8	A9	A10
（x，y，z）	（1，1，2）	（2，1，2）	（2，0，1）	（2，2，1）	（0，2，1）

（1）在這10塊青蒿人工種植地中任取兩地，求這兩地的空氣溫度的指標z相同的概率；
（2）從長勢等級是一級的人工種植地中任取一地，其綜合指標為m，從長勢等級不是一級的人工種植地中任取一地，共綜合指標為n，記隨機變量X=m-n，求X的分布列及其數學期望．

Answer 1

分析 （1）由表可知：空氣濕度指標為0的有A₁，空氣濕度指標為1的有A₂，A₃，A₅，A₈，A₉，A₁₀，空氣濕度指標為2的有A₄，A₆，A₇，由此能求出這兩地的空氣溫度的指標z相同的概率．
（2）由題意得長勢等級是一級（ω≥4）有A₂，A₃，A₄，A₆，A₇，A₉，長勢等級不是一級（ω＜4）的有A₁，A₅，A₈，A₁₀，從而隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，4，5，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）由表可知：空氣濕度指標為0的有A₁，
空氣濕度指標為1的有A₂，A₃，A₅，A₈，A₉，A₁₀，
空氣濕度指標為2的有A₄，A₆，A₇，
在這10塊青蒿人工種植地中任取兩地，基本事件總數n=${C}_{10}^{2}$=45，
這兩地的空氣溫度的指標z相同包含的基本事件個數m=${C}_{6}^{2}+{C}_{3}^{2}$=18，
∴這兩地的空氣溫度的指標z相同的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{18}{45}$=$\frac{2}{5}$．
（2）由題意得10塊青蒿人工種植的綜合指標如下表：

編號	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10
綜合指標	1	4	4	6	2	4	5	3	5	3

其中長勢等級是一級（ω≥4）有A₂，A₃，A₄，A₆，A₇，A₉，共6個，
長勢等級不是一級（ω＜4）的有A₁，A₅，A₈，A₁₀，共4個，
隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，4，5，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{7}{24}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{7}{24}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{1}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{1}{8}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{1}{24}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{7}{24}$	$\frac{7}{24}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{24}$

E（X）=$1×\frac{1}{4}+2×\frac{7}{24}+3×\frac{7}{24}$+$4×\frac{1}{8}+5×\frac{1}{24}$=$\frac{29}{12}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．