Question

16．已知實數(shù)x，y滿足：$\left\{{\begin{array}{l}{x-2y+1≥0}\\{x＜2}\\{x+y-1≥0}\end{array}}\right.$，z=2x-2y-1，則z的取值范圍是[-$\frac{5}{3}$，5）．

Answer 1

分析 根據(jù)畫出不等式組表示的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的意義，利用平移即可得到結(jié)論．

解答 解：不等式對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=2x-2y-1得y=x-$\frac{1+z}{2}$，平移直線y=x-$\frac{1+z}{2}$，
由平移可知當(dāng)直線y=x-$\frac{1+z}{2}$，經(jīng)過點C時，
直線y=x-$\frac{1+z}{2}$的截距最小，此時z取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$，即C（2，-1），
此時z=2x-2y-1=4+2-1=5，
可知當(dāng)直線y=x-$\frac{1+z}{2}$，經(jīng)過點A時，
直線y=y=x-$\frac{1+z}{2}$的截距最大，此時z取得最小值，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+1=0}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）
代入z=2x-2y-1得z=2×$\frac{1}{3}$-2×$\frac{2}{3}$-1=-$\frac{5}{3}$，
故z∈[-$\frac{5}{3}$，5）．
故答案為：[-$\frac{5}{3}$，5）．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法．